גובה מנסרה ישרה, אורך ושטח – בגרות חורף 2022 נבצריםוקטורים 472 · שיעור 23
חורף 2022 נבצרים, שאלה 1 · סעיפים ג , ד
שיעור 23: גובה מנסרה ישרה, אורך ושטח – בגרות חורף 2022 נבצרים
פרק 4 – ישר מאונך למישור, גובה ונפח
1נוסח השאלה
2סעיף ג – גובה המנסרה
3סעיף ד (1) – אורך B′E
4סעיף ד (2) – שטח המשולש AB′E
📄 נוסח השאלה
במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCD הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, ∢BAD = 60 מעלות, נפח המנסרה הוא 8√3. הנקודה E היא אמצע המקצוע C′D′.
נסמן: AD = u , AB = v , AA′ = w.
א. הבע את הווקטורים B′A ו־B′E באמצעות u, v ו־w. (פתרנו בשיעור 5)
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. לפניך שלוש טענות (1–3). קבע אלו מהטענות נכונות. נמק. (1) u · v = 0 (2) u · w = 0 (3) B′A מאונך ל־B′E. (פתרנו בשיעור 13)
ג. חשב את אורך הגובה של המנסרה.
ד. (1) חשב את אורך הווקטור B′E. (2) חשב את שטח המשולש AB′E.
סעיף ג – גובה המנסרה
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 5 , שיעור 13):
סעיף א – הבעת B′A ו־B′E: B′A = −v − w
B′E = u − 12v
סעיף ב – שלוש הטענות: טענה (1) – לא נכונה
טענות (2) ו־(3) – נכונות
סעיף א – הבעת B′A ו־B′E: B′A = −v − w
B′E = u − 12v
סעיף ב – שלוש הטענות: טענה (1) – לא נכונה
טענות (2) ו־(3) – נכונות
SABCD = AB · AD · sin ∢BAD
📐 שטח מקבילית (ומעוין)
נציב AB = AD = 2 , ∢BAD = 60:
SABCD = 2 · 2 · sin 60
SABCD = 4 · √32 = 2√3
V = SABCD · h
📐 שטח מקבילית (ומעוין)
S = a · b · sin ∢
סעיף ג – גובה המנסרה · המשך
V = SABCD · h
נציב V = 8√3 (נתון) , SABCD = 2√3:
8√3 = 2√3 · h
📐 נפח מנסרה (S – שטח הבסיס)
h = 8√32√3 = 4
✅ פתרון סופי: גובה המנסרה: 4
📐 נפח מנסרה (S – שטח הבסיס)
V = S · h
סעיף ד (1) – אורך B′E
נציב B′E = u − 12v (סעיף א):
|B′E|2 = (u − 12v) · (u − 12v)
📐 ריבוע של וקטור
|B′E|2 = |u|2 − 2 · 12u · v + 14|v|2
📐 נוסחת הכפל המקוצר
נציב |u|2 = |v|2 = 4 , u · v = 2 (סעיף ב, טענה 1):
|B′E|2 = 4 − 2 · 12 · 2 + 14 · 4 = 3
|B′E| = √3 ≈ 1.73
📐 ריבוע של וקטור
a · a = |a|2
📐 נוסחת הכפל המקוצר
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
סעיף ד (1) – אורך B′E · המשך
|B′E| = √3 ≈ 1.73
✅ פתרון סופי: |B′E| = √3 ≈ 1.73
סעיף ד (2) – שטח המשולש AB′E
לפי טענה (3) – ∢AB′E = 90 מעלות, כלומר המשולש ישר־זווית ב־B′. לפי סעיף ג |w| = 4. צריך גם את |B′A|:
נציב B′A = −v − w (סעיף א):
|B′A|2 = (−v − w) · (−v − w)
📐 ריבוע של וקטור
|B′A|2 = |v|2 + 2v · w + |w|2
נציב |v|2 = 4 , v · w = 0 , |w|2 = 42 = 16:
|B′A|2 = 4 + 2 · 0 + 16 = 20
📐 ריבוע של וקטור
a · a = |a|2
סעיף ד (2) – שטח המשולש AB′E · המשך
|B′A|2 = 4 + 2 · 0 + 16 = 20
|B′A| = √20 = 2√5
S = |B′A| · |B′E|2
📐 שטח משולש ישר־זווית (a, b – הניצבים)
נציב |B′A| = 2√5 , |B′E| = √3:
S = 2√5 · √32 = √15 ≈ 3.87
✅ פתרון סופי: S = √15 ≈ 3.87
📐 שטח משולש ישר־זווית (a, b – הניצבים)
S = a · b2
📌 סיכום התשובות
סעיף ג
4
סעיף ד (1)
√3
סעיף ד (2)
√15 ≈ 3.87
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא